Question

16．已知圓C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1和兩點A（-t，0），B（t，0）（t＞0），若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，則當(dāng)t取得最大值時，點P的坐標(biāo)是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
• D． （$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)圓心C到O（0，0）的距離為2，可得圓C上的點到點O的距離的最大值為3．再由∠APB=90°，可得PO=$\frac{1}{2}$AB=t，可得t≤3，從而得到答案．

解答 解：圓C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1，其圓心C（$\sqrt{3}$，1），半徑為1，
∵圓心C到O（0，0）的距離為2，
∴圓C上的點到點O的距離的最大值為3．
再由∠APB=90°，以AB為直徑的圓和圓C有交點，可得PO=$\frac{1}{2}$AB=t，故有t≤3，
∴A（-3，0），B（3，0）．
∵圓心C（$\sqrt{3}$，1），直線OP的斜率k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線OP的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
故選D．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的靈活運用，根據(jù)兩點A（-t，0），B（t，0）與圓的最大值距離求出t是解決本題的關(guān)鍵．