Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC、BD相交于點O，點E、F、G分別為PC、AD、PD的中點，OP=OA，PA⊥PD．
求證：（1）FG∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）通過線線平行去證明線面平行即可．只需證明FG||OE即可．
（2）面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，只需證明OE垂直平面PCD即可

解答 解：（1）∵點E、F、G分別為PC、AD、PD的中點，四邊形ABCD為平行四邊形
∴GE||DC，且GE=$\frac{1}{2}$DC，
OF||DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF||GE且GE=OF
故得四邊形OFGE為平行四邊形．
∴FG∥EO，
EO∈平面BDE，F(xiàn)G∉平面BDE，
∴FG∥平面BDE；
（2）由題意，F(xiàn)G∥AP，PA⊥PD，
∴FG⊥PD，
∵FG∥EO，
∴EO⊥PD，
又OP=OA，取AP的中點Q，連接OQ，
則OQ⊥AP，OQ∥PC，
∴PC⊥AP，
AP∥FG∥EO，
∴EO⊥PC，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC∈平面PCD}\\{PD∈平面PCD}\\{PD∩PC=P}\end{array}\right.$，
∴EO⊥平面PCD．
∵EO∈平面PCD，
故而平面BDE⊥平面PCD．

點評 本題考查了線面、面面平行，線面、面面垂直等簡單的立體幾何知識，考查學生對書本知識的掌握情況以及空間想象、推理能力，是中檔題．