Question

【題目】（1）已知函數(shù)，求函數(shù)在時(shí)的值域；

（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②證明：.

（本題中可以參與的不等式：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）①②詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)首先可對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分析函數(shù)在上的單調(diào)性并求出最值，最后即可求出函數(shù)在上的值域；

(2)①首先將“有兩個(gè)不同極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“有兩個(gè)不同的正實(shí)根”，再根據(jù)(1)中所給出的函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果；

②可利用分析法進(jìn)行證明。

（1），令，，

在上有，在上有，

從而有在上為單增函數(shù)，在上為單減函數(shù)，

，且當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

（2）①，

題意有兩個(gè)不同極值點(diǎn)即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的正實(shí)根，

由（1）題函數(shù)的性質(zhì)知：，故；

②由條件有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，知：

，于是有

所以，即

要證成立，只需證明

只需證

只需證

只需證

只需證，令，

只需證，，而題中已給出該不等式成立.

即證。