Question

已知y=4 x-

1

2

-3×2^x+5，0≤x≤2
（Ⅰ）設(shè)t=2^x，x∈[0，2]，求t的最大值與最小值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)t=2^x ，0≤x≤2，由于函數(shù)t=2^x 在R上是增函數(shù)，可得t的最大值與最小值．
（Ⅱ）由于函數(shù) y=f（x）

1

2

（t-3）²+

1

2

，1≤t≤4．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)t=2^x ，0≤x≤2，由于函數(shù)t=2^x 在R上是增函數(shù)，故當(dāng)x=0時(shí)，t取得最小值為2⁰=1，當(dāng)x=2時(shí)，t取得最大值為2²=4．
（Ⅱ）由于函數(shù) y=f（x）=4 x-

1

2

-3×2^x+5=

1

2

（2^x）²-3•2^x+5=

1

2

t²-3t+5=

1

2

（t-3）²+

1

2

，1≤t≤4．
故當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)y取得最小值為

1

2

，此時(shí)，x=log₂3．當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為

5

2

，此時(shí)，x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．