Question

7．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．
（1）排成前后兩排，前排3人．后排4人
（2）全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；
（3）全體站成一排，女生必須站在一起；
（4）全體站成一排，男生互不相鄰．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將7人全排列即可，由排列數(shù)公式計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：先分析甲，再將其余6人全排列，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，用插空法分2步進行分析：先將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，用插空法分析：先將4名女生全排列，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，將7人全排列即可，則共有A₇⁷種=5 040種方法．
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：
先排甲，由于甲不站排頭也不站排尾，則甲有5種方法，
其余6人全排列，安排在其他位置，有A₆⁶種方法，
故共有5×A₆⁶=3 600種方法．
（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：
將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，有A₄⁴種情況，
再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列，有A₄⁴種情況，
故共有A₄⁴A₄⁴=576種方法．
（4）根據(jù)題意，分2步進行分析：
先排女生，將4名女生全排列，有A₄⁴種方法，
再安排男生，由于男生不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A₅³種方法，
故共有A₄⁴×A₅³=1440種方法．

點評 本題考查排列、組合的綜合應用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應用，需要掌握特殊問題的處理方法．