Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（-2，0）．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角；
（3）當t∈R時，求|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量的加減運算和向量的模的公式，計算即可得到所求值；
（2）求得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=6，由向量的數(shù)量積的夾角公式，計算即可得到所求值；
（3）運用向量的平方即為模的平方，化簡可得關于t的二次函數(shù)，配方即可得到最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（-2，0），
所以$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$）-（-2，0）=（3，$\sqrt{3}$），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$；
（2）由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4-（-2）=6，
可得cos＜（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），$\overrightarrow{a}$＞≤π，
所以向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{6}$；
（3）因為|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²-2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+t²$\overrightarrow$²
=4t²+4t+4=4（t+$\frac{1}{2}$）²+3，
當t=-$\frac{1}{2}$時，上式取得最小值3．
所以當t∈R時，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的取值范圍是$[\sqrt{3}，+∞）$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的定義和性質，以及坐標表示，考查向量的平方即為模的平方和模的公式的運用，二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．