Question

【題目】已知函數(shù)在處有極值，且其圖像在處的切線與直線平行.

(I).求函數(shù)的單調區(qū)間；

(II).求函數(shù)的極大值與極小值的差；

(III).若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調增區(qū)間，函數(shù)的單調減區(qū)間；（Ⅱ）4；（Ⅲ）或.

【解析】

試題分析：

(1)由題意結合導函數(shù)與原函數(shù)切線的關系得到關于實數(shù)a,b的方程組，求解方程組可得：，則，利用導函數(shù)研究原函數(shù)的單調性可得函數(shù)的單調增區(qū)間，函數(shù)的單調減區(qū)間

(2)結合(1)的結論可得：，函數(shù)的極大值為，極小值為，故極大值與極小值的差為.

(3)原問題等價于，結合(1)的結論可得關于實數(shù)c的不等式，求解不等式可得：

試題解析：

（1）

由題意知

由（1）（2）得

當時，

當時，

函數(shù)的單調增區(qū)間，函數(shù)的單調減區(qū)間

（2）由（1）知

由（1）知函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為

所以函數(shù)的極大值與極小值的差為.

（3）要使對恒成立，

只需，

由（1）知