Question

20．如圖，拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線為y=-1，取過焦點(diǎn)F且平行于x軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P₁，P₂，過P₁，P₂作圓心為Q的圓，使拋物線上其余點(diǎn)均在圓外，且∠P₁QP₂=90°．
（1）求拋物線C和圓Q的方程；
2）過點(diǎn)F作直線l與拋物線C和圓Q依次交于M，A，B，N，求|MN|•|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線為y=-1，求出p，得到拋物線方程，不妨設(shè)P₁在左側(cè)，求出P₁的坐標(biāo)，|P₁F|=2，設(shè)圓Q的方程為：x²+（y-b）²=r²（b＞1，r＞0），通過P₁Q⊥P₂Q，求出b與r，得到圓的方程．
（2）直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，求出圓心Q（0，3）到直線l的距離，推出|AB|，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線定義有：$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（{k^2}+1）$，求出|MN|•|AB|的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因?yàn)閽佄锞�C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線為y=-1，
所以$-\frac{p}{2}=-1$，解得p=2，所以拋物線C的方程為x²=4y．   …（1分）
當(dāng)y=1時(shí)，由x²=4y得：x=±2，不妨設(shè)P₁在左側(cè)，則P₁（-2，1），|P₁F|=2，…（2分）
由題意設(shè)圓Q的方程為：x²+（y-b）²=r²（b＞1，r＞0），
由∠P₁QP₂=90°且|P₁Q|=|QP₂|知：P₁Q⊥P₂Q，
∴△P₁QP₂是等腰直角三角形且∠QP₁P₂=45°，
∴|QF|=|P₁F|=2，$|{P_1}Q|=\sqrt{|QF{|^2}+|{P_1}F{|^2}}=2\sqrt{2}$，則$b={3_{\;}}，r=2\sqrt{2}$，…（4分）
∴圓Q的方程為：x²+（y-3）²=8． …（5分）
（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，
圓心Q（0，3）到直線l的距離為：$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=4\sqrt{2-\frac{1}{{1+{k^2}}}}$．              …（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$得：y²-（4k²+2）y+1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線定義有：$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（{k^2}+1）$，…（9分）
∴$|MN|•|AB|=16（{k^2}+1）•\sqrt{2-\frac{1}{{{k^2}+1}}}$，
設(shè)t=k²+1，則：t≥1且$|MN|•|AB|=16t•\sqrt{2-\frac{1}{t}}=16\sqrt{2{t^2}-t}=16\sqrt{2{{（t-\frac{1}{4}）}^2}-\frac{1}{8}}$，…（11分）
∴當(dāng)t=1即k=0時(shí)，|MN|•|AB|的最小值為16．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線方程的求法，圓的方程的求法，考查計(jì)算能力．