Question

6．設曲線y=2015xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，2015）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，令a_n=log₂₀₁₅x_n，則a₁+a₂+…a₂₀₁₄的值為-1．

Answer 1

分析 根據題設條件，利用導數先求出切線方程，進而求出x_n，從而得到a_n，再由對數的運算法則能求出結果．

解答 解：∵曲線y=2015xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=2015（n+1）xⁿ，
∴y′|_x=1=2015（n+1），
∴曲線y=2015xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，2015）處的切線方程為：
y-2015=2015（n+1）（x-1），
令y=0，解得切線與x軸的交點的橫坐標為x_n=x=$\frac{n}{n+1}$，
∵a_n=log₂₀₁₅x_n=log₂₀₁₅$\frac{n}{n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₄
=log₂₀₁₅$\frac{1}{2}$+log₂₀₁₅$\frac{2}{3}$+…+log₂₀₁₅$\frac{2014}{2015}$
=log₂₀₁₅（$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{2014}{2015}$）
=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查數列求和，涉及到導數、對數、數列等知識點，是一道構思巧妙的好題．