Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x²-2mx+m²）lnx無(wú)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$-2{e}^{-\frac{3}{2}}$）
• B． （-∞，1]
• C． （-2，0）∪（0，1]
• D． （-∞，$-2{e}^{-\frac{3}{2}}$]∪{1}

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（x²-2mx+m²）lnx（x＞0），f′（x）=（2x-2m）lnx+（x-2m+$\frac{{m}^{2}}{x}$）=$\frac{x-m}{x}$（2xlnx+x-m）．當(dāng)x＞1且x＞m時(shí)，即x＞max（1，m）時(shí)，f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，滿足函數(shù)f（x）取極值．對(duì)m分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x²-2mx+m²）lnx（x＞0），f′（x）=（2x-2m）lnx+（x-2m+$\frac{{m}^{2}}{x}$）=$\frac{x-m}{x}$（2xlnx+x-m）．
當(dāng)x＞1且x＞m時(shí)，即x＞max（1，m）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，滿足函數(shù)f（x）無(wú)極值．
①m＞1時(shí)，只要求x∈（0，m）時(shí)，f′（x）≥0即可，只需2xlnx+2x-m≤0即可．∴m≥2x+2xlnx，
令g（x）=x+2xlnx，g′（x）=3+2lnx，可得函數(shù)g（x）的圖象：
∴m＞g（m）=m+2mlnm，解得：m＜1，舍去．
②m=1時(shí)，只要求x∈（0，1）時(shí)，f′（x）≥0即可，即1≥g（x）．
而g（x）_max=g（1）=1，成立，即m=1滿足條件．
③當(dāng)0＜m＜1時(shí)，只要求x∈（0，1）時(shí)，f′（x）≥0即可，∴m≥g（x）_max=g（1）=1，不符合題意，舍去．
④當(dāng)m≤0時(shí)，只要求x∈（0，1）時(shí)，f′（x）≥0即可，∴m≤g（x）_min=$g（{e}^{-\frac{3}{2}}）$=-2${e}^{-\frac{3}{2}}$，即m≤-2${e}^{-\frac{3}{2}}$．
綜上可得：m的取值范圍是$（-∞，-2{e}^{-\frac{3}{2}}]$∪{1}．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、分類(lèi)討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．