Question

7．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點(diǎn)；
②在平面內(nèi)，設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且|PA|+|PB|=k，其中常數(shù)k為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④已知P是雙曲線$\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF₁|=17，則|PF₂|的值為33．
其中真命題的序號(hào)為①④．

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的數(shù)量關(guān)系即可判定．

解答 解：對(duì)于①，雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦點(diǎn)為（±5，0），橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點(diǎn)為（±5，0），故①正確；
對(duì)于②，在平面內(nèi)，設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且|PA|+|PB|=k，其中常數(shù)k＞|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡才為橢圓，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，方程2x²-x+1=0的無實(shí)，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，|PF₁-|PF₂|=2a=16，若|PF₁|=17，則|PF₂|的值為33或1，可是|PF₂|≥c-a=2，故④正確
故答案：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓、雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的數(shù)量關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．