Question

2．已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點(diǎn)F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第四象限內(nèi)）．
（1）若|MB|=4|AM|，求直線l的方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點(diǎn)，求橢圓C₁的長軸長的最小值．

Answer 1

分析 （1）解法一：直線l的方程為x=my+4，由題意可知y₂=-4y₁，將直線l方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得m的值，求得直線l的方程；
方法二：設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），由題意可知y₂=-4y₁，將直線l方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得k的值，求得直線l的方程；
方程三：設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），由x₂=20-4x₁，將直線l方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得k的值，求得直線l的方程；
（2）直線l：x=my+4，由O，P關(guān)于直線l：x=my+4對稱，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求得m的值，設(shè)橢圓方程，將直線方程代入橢圓方程，△≥0，求得λ的取值范圍，求得a的取值范圍，即可求得橢圓C₁的長軸長的最小值．

解答 解：（1）解法一：由題意得拋物線方程為y²=4x，…（1分）
設(shè)直線l的方程為x=my+4，…（2分）
令A(yù)（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），其中y₁＜0．由丨MB丨=4丨AM丨，得y₂=-4y₁…（3分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=my+4\end{array}\right.$，可得y²-4my-16=0，$\left\{\begin{array}{l}{y_1}{y_2}=-16\\{y_2}=-4{y_1}\\{y_1}+{y_2}=4m\end{array}\right.$，
解得y₁=-2，y₂=8，…（4分）
∴$m=\frac{3}{2}$，…（5分）
∴直線l的方程為2x-3y-8=0…（6分）
解法二：由題意得拋物線方程為y²=4x…（1分）
設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）…（2分）
令$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，其中y₁＜0．由|MB|=4|AM|，得y₂=-4y₁…（3分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$，可得ky²-4y-16k=0，$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}\\{y_2}=-4{y_1}\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$解得y₁=-2，y₂=8，…（4分）
∴$k=\frac{2}{3}$…（5分）
∴直線l的方程為2x-3y-8=0…（6分）
解法三：由題意得拋物線方程為y²=4x…（1分）
設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）…（2分）
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞4＞x₁＞0，由|MB|=4|AM|，
得x₂=20-4x₁，k＞0…（3分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$可得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}+4}}{k^2}\\{x_2}=20-4{x_1}\\{x_1}{x_2}=16\end{array}\right.$
解得x₁=1，x₂=16，…（4分）
∴$k=\frac{2}{3}$．…（5分）
∴直線l的方程為2x-3y-8=0…（6分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），直線l：x=my+4，
∵點(diǎn)P在拋物線C₂上，
∴直線l的斜率存在，m≠0．…（7分）
O，P關(guān)于直線l：x=my+4對稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{2}=m×\frac{y_0}{2}+4\\ \frac{1}{m}×\frac{y_0}{x_0}=-1\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{8}{{1+{m^2}}}\\{y_0}=\frac{-8m}{{1+{m^2}}}\end{array}\right.$…（8分）
故$P（\frac{8}{{1+{m^2}}}，\frac{-8m}{{1+{m^2}}}）$代入拋物線C₂：y²=4x，可得m₁=1，m₂=-1…（9分）
直線l的方程為x=y+4或x=-y+4…（10分）
設(shè)橢圓為$\frac{x^2}{λ}+\frac{y^2}{λ-1}=1$，（λ＞1）．
聯(lián)立直線和橢圓，消去x整理得（2λ-1）y²±8（λ-1）y-λ²+17λ-16=0，
∵△≥0，
∴64（λ-1）²+4（2λ-1）（λ²-17λ+16）≥0．解得$λ≥\frac{17}{2}$…（11分）
則${a^2}≥\frac{17}{2}$，即$a≥\frac{{\sqrt{34}}}{2}$．
∴橢圓C₁的長軸長的最小值為$\sqrt{34}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線及橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查分析問題及解決問題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．