Question

正實數(shù)數(shù)列中,,且成等差數(shù)列.
(1) 證明數(shù)列中有無窮多項為無理數(shù)；
(2)當為何值時，為整數(shù)，并求出使的所有整數(shù)項的和.

Answer 1

（）時，為整數(shù)；

考查等差數(shù)列及數(shù)列分組求和知識
證明：（1）由已知有：，從而，
方法一：取，則（）
用反證法證明這些都是無理數(shù).
假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且，
故.,與矛盾，
所以（）都是無理數(shù)，即數(shù)列中有無窮多項為無理數(shù);
方法二：因為，當的末位數(shù)字是時，的末位數(shù)字是和，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分數(shù)的平方，故此時不是有理數(shù)，因這種有無窮多，故這種無理項也有無窮多．
(2) 要使為整數(shù)，由可知：
同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以有或
當時，有（）
又必為偶數(shù)，所以（）滿足
即（）時，為整數(shù)；
同理有（）
也滿足，即（）時，為整數(shù)；
顯然和（）是數(shù)列中的不同項；
所以當（）和（）時，為整數(shù)；
由（）有，
由（）有.
設(shè)中滿足的所有整數(shù)項的和為，則