11.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且有Sn=2an-1.數(shù)列{bn}滿足bn=an+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.

分析 (1)運用數(shù)列的通項和前n項和的關系:n=1時,a1=S1,當n>1時,an=Sn-Sn-1,計算即可得到所求數(shù)列的通項公式;
(2)求得bn═2n-1+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=2n-1+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),運用數(shù)列的求和方法:分組求和和裂項相消求和,結合等比數(shù)列的求和公式,計算即可得到所求和.

解答 解:(1)由Sn=2an-1,可得n=1時,a1=S1=2a1-1,解得a1=1;
當n>1時,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),
即有an=2an-1,則an=a1qn-1=2n-1;
(2)bn=an+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=2n-1+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=2n-1+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
則數(shù)列{bn}的前n項和為(1+2+…+2n-1)+$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=2n-1+$\frac{n}{2n+1}$.

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法,注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關系:n=1時,a1=S1,當n>1時,an=Sn-Sn-1,考查數(shù)列的求和方法:裂項相消求和和分組求和,注意運用等比數(shù)列的求和公式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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