Question

設(shè)數(shù)列{a_n} 的首項(xiàng)為a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），n∈N*．
（1）求a₂的值及數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列 {b_n} 滿足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，當(dāng)n≥2，記．
①計(jì)算E₉的值；
②求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意數(shù)列{a_n} 的首項(xiàng)為a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)即可；
（2）①有數(shù)列 {b_n} 滿足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，先推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，②并對該式子分奇偶進(jìn)行討論求出2n-，并有導(dǎo)出的通項(xiàng)公式代入，再利用數(shù)列的極限求得．
解答：解：（1）因?yàn)橛幸阎�：na_n-S_n=2n（n-1），a₂=5，
     當(dāng)n≥2時(shí)，（n-1）a_n-1-S_n-1=2（n-1）（n-2），
∴na_n-（n-1）a_n-1-S_n+S_n-1=2n（n-1）-2（n-1）（n-2），
    即（n-1）（a_n-a_n-1）=4（n-1）（n≥2），∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
    故數(shù)列{a_n}是公差為4的等差數(shù)列，
∴a_n=4n-3（n∈N⁺）；
（2）由于數(shù)列 {b_n} 滿足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，
∴4b_n=2n²-1+（-1）ⁿ（n∈N⁺），∴，
故，
當(dāng)n為大于0的偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，
，
∴E₉=（b₁+b₃+b₅+b₇+b₉）+（b₂+b₄+b₆+b₈）=
當(dāng)n＞1，且n∈N⁺時(shí)，若n為偶數(shù)，則，
                       若n為大于1的奇數(shù)，則，
∴  
∴．
點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生的分類討論的能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐茖?dǎo)能力，還考查了已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和求數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的極限．