Question

1．已知函數f（x）=log₂（4^x+1）-x，g（x）=log₂a+log₂（2^x-$\frac{4}{3}$）（a＞0，x＞1）．
（1）證明函數f（x）為偶函數；
（2）若函數f（x）-g（x）只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解定義域，利用定義進行判斷即可．
（2）函數f（x）-g（x）只有一個零點，即f（x）=g（x）只有一個零點，化簡計算，轉化成二次方程問題求解．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域是R，
f（-x）=log₂（4^-x+1）+x
=log₂$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$+x
=log₂（4^x+1）-log₂2^2x+x
=log₂（4^x+1）-2x+x
=f（x），
故f（x）在R是偶函數；
（2）由題意：函數f（x）-g（x）只有一個零點，即f（x）=g（x）只有一個零點，
可得：log₂（4^x+1）-x=log₂a+log₂（2^x-$\frac{4}{3}$）（a＞0）
整理得：$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}•（{2}^{x}-\frac{4}{3}）}=a$．
即：$（a{-1）4}^{x}-\frac{4a}{3}•{2}^{x}-1=0$
令2^x=t
∵x＞1，
∴t＞2
轉化為f（t）=$（a-1）{t}^{2}-\frac{4a}{3}t-1$（t＞2）與x軸的交點問題．
當a-1=0，即a=1時，f（t）=$-\frac{4a}{3}t-1$
∵t＞2，∴f（t）恒小于0，與x軸沒有交點．
當a-1＞0，即a＞1時，f（t）與x軸有一個交點，需那么f（2）＜0．
解得：$a＜\frac{15}{4}$，
所以：$1＜a＜\frac{15}{4}$．
當a-1＜0，即0＜a＜1時，f（t）與x軸有一個交點，需那么f（2）＞0，此時無解．
綜上所得：函數f（x）-g（x）只有一個零點，求實數a的取值范圍是（1，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了對數的運算和化簡能力，轉化思想，將零點問題轉化為二次函數與x軸的交點問題．屬于中檔題．