Question

8．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家．某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸）．將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）估計(jì)居民月均水量的中位數(shù)．

Answer 1

分析 （I）先根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距求出9個(gè)矩形的面積即頻率，再根據(jù)直方圖的總頻率為1求出a的值；
（II）根據(jù)已知中的頻率分布直方圖先求出月均用水量不低于3噸的頻率，結(jié)合樣本容量為30萬(wàn)，進(jìn)而得解．
（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，求出使直方圖中左右兩邊頻率相等對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的值．

解答 解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬(wàn)，理由如下：
由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又樣本容量為30萬(wàn)，
則樣本中月均用水量不低于3噸的戶數(shù)為30×0.12=3.6萬(wàn)．
（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位數(shù)應(yīng)在（2，2.5]組內(nèi)，設(shè)出未知數(shù)x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位數(shù)是2+0.04=2.04．

點(diǎn)評(píng) 本題用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方法．頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積=組距×$\frac{頻率}{組距}$，各個(gè)矩形面積之和等于1，能根據(jù)直方圖求眾數(shù)和中位數(shù)，屬于常規(guī)題型．