【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣a)2lnx(a為常數(shù)).
(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線與直線2x+2y﹣3=0垂直.
(。┣髮(shí)數(shù)a的值;
(ⅱ)若a非正,比較f(x)與x(x﹣1)的大;
(2)如果0<a<1,判斷f(x)在(a,1)上是否有極值,若有極值是極大值還是極小值?若無(wú)極值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:(。ゝ(x)定義域是(0,+∞),f′(x)=(x﹣a)(2lnx+ ),

∵直線2x+2y﹣3=0的斜率為:k=﹣1,

∴f(x)在(1,f(1))處的切線的斜率﹣ =1,

即f′(1)=(1﹣a)(2ln1+ )=(1﹣a)2=1,

∴a=0或a=2;

(ⅱ)由(。┲,a=0,∴f(x)=x2lnx,

∵x2lnx﹣x(x﹣1)=x(xlnx﹣x+1),

∴令g(x)=xlnx﹣x+1,g′(x)=lnx,

當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,

∴g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,

g(x)min=g(1)=0,∴g(x)≥0恒成立,

即f(x)≥x(x﹣1);


(2)解:f′(x)=(x﹣a)(2lnx+ ),

令F(x)=2lnx+1﹣ ,F(xiàn)′(x)= >0,

∴F(x)在(a,1)上單調(diào)遞增,又F(1)=1﹣a>0,F(xiàn)(a)=2lna<0,

所以在(a,1)上必存在x0,使F(x0)=0,

又x﹣a>0,∴當(dāng)x∈(a,x0),f′(x)<0,x∈(x0,1),f′(x)>0,

∴f(x)在(a,x0)單調(diào)遞減,在(x0,1)單調(diào)遞增,

∴x=x0是f(x)的極值點(diǎn),且為極小值.


【解析】(1)(i)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線的斜率是f′(1)=﹣ =1,解出a的值即可;(ii)求出f(x)的表達(dá)式,作差,得到x2lnx﹣x(x﹣1)=x(xlnx﹣x+1),令g(x)=xlnx﹣x+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最小值g(1)=0,得到g(x)≥0恒成立,從而求出f(x)與x(x﹣1)的大小即可;(2)求出f′(x)=(x﹣a)(2lnx+ ),令F(x)=2lnx+1﹣ ,求出F(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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