4.記${\left.{\overline{{a_n}{a_{n-1}}{a_{n-2}}…{a_1}{a_0}}}\right|_m}$=a0+a1×m+…+an-1×mn-1+an×mn,其中n≤m,m、n均為正整數(shù),ak∈{0,1,2,…,m-1}(k=0,1,2,…,n)且an≠0;
(1)計(jì)算${\left.{\overline{2016}}\right|_7}$=699;
(2)設(shè)集合A(m,n)=$\left\{{{{\left.{\left.x\right|x=\overline{{a_n}{a_{n-1}}{a_{n-2}}…{a_1}{a_0}}}\right|}_m}}\right\}$,則A(m,n)中所有元素之和為$\frac{{({{m^{n+1}}+{m^n}-1})({{m^{n+1}}-{m^n}})}}{2}$.

分析 (1)${\left.{\overline{2016}}\right|_7}$=6+1×7+2×73=699;
(2)分別求出含有a1、…、an-1,an的項(xiàng)共有m•mn-1(m-1)項(xiàng)及和,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)${\left.{\overline{2016}}\right|_7}$=6+1×7+2×73=699;
(2)由題意,a0、a1、…、an-1,各有m種取法,an有m-1中取法.
a0=0,1,2,…m-1時(shí),a1、…、an-1,各有m種取法,an有m-1中取法,
所以含有a0的項(xiàng)共有mn-1(m-1)項(xiàng),和為(0+1+2+…+m-1)mn-1(m-1)=$\frac{m(m-1)}{2}$mn-1(m-1),
同理a1=0,1,2,…m-1時(shí),a0、a2、…、an-1,各有m種取法,an有m-1中取法,
所以含有a1的項(xiàng)共有m•mn-1(m-1)項(xiàng),和為(0+1+2+…+m-1)mn-1(m-1)=$\frac{m(m-1)}{2}$m•mn-1(m-1),

an=1,2,…m-1時(shí),a0、a1、…、an-1,各有m種取法,
所以含有an的項(xiàng)共有mn•mn項(xiàng),和為(1+2+…+m-1)mn•mn=$\frac{m(m-1)}{2}$•mn•mn,
所以所有元素之和為$\frac{m(m-1)}{2}$mn-1(m-1)(1+m+…+mn)+$\frac{m(m-1)}{2}$mnmn=$\frac{{({{m^{n+1}}+{m^n}-1})({{m^{n+1}}-{m^n}})}}{2}$.
故答案為:699;$\frac{{({{m^{n+1}}+{m^n}-1})({{m^{n+1}}-{m^n}})}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義,考查數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度大.

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