Question

已知圓O：x²+y²=4與直線l：y=x+b，在x軸上有點(diǎn)P（3，0），
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)b變化時(shí)，討論圓O上到直線l的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若圓O與直線l交于不同的兩點(diǎn)A，B，且

PA

•

PB

=9，求b的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，題中的圓以原點(diǎn)為圓心、半徑r=2，由點(diǎn)到直線的距離公式算出原點(diǎn)到l的距離d=

2

2

|b|．由圓的性質(zhì)可得：當(dāng)d=4時(shí)圓上存在唯一的滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；d＞4時(shí)圓上不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，d＜4時(shí)圓上存在兩個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)．由此建立關(guān)于b的不等式，解出相應(yīng)的b的范圍，可得答案．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

PA

•

PB

=9利用向量數(shù)量積的公式，算出x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0．
將直線l方程與圓O方程聯(lián)解得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理算出x₁+x₂與x₁x₂關(guān)于b的式子，從而得到y(tǒng)₁y₂關(guān)于b的式子，代入前面的等式得到關(guān)于b的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵圓O：x²+y²=4的圓心為O（0，0）、半徑r=2，
直線l：y=x+b即x-y+b=0，
∴圓心到直線l的距離為d=

|0-0-b|

2

=

2

2

|b|，可得
①當(dāng)圓心到直線l的距離大于4時(shí)，圓上距離直線l距離最近的點(diǎn)到l的距離大于2，
此時(shí)圓O上不存在到直線l的距離為2的點(diǎn)，此時(shí)d=

2

2

|b|＞4，解得|b|＞4

2

；
②當(dāng)圓心到直線l的距離等于4時(shí)，圓上距離直線l距離最近的點(diǎn)到l的距離等于2，此時(shí)圓O上存在唯一的點(diǎn)到直線l的距離為2，此時(shí)d=

2

2

|b|=4，解得|b|=4

2

；
③當(dāng)圓心到直線l的距離小4時(shí)，圓上距離直線l距離最近的點(diǎn)到l的距離小于2，
此時(shí)圓O上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2，此時(shí)d=

2

2

|b|＜4，解之得|b|＜4

2

．
綜上所述，當(dāng)b＜-4

2

或b＞4

2

時(shí)，圓上存在0個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于2；當(dāng)b=±4

2

時(shí)，
圓上存在1個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于2；當(dāng)-4

2

＜b＜4

2

時(shí)，圓上存在2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于2．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂）
∵

PA

•

PB

=9，∴（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=9，化簡(jiǎn)得x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0．
由

y=x+b x2+y2=4

聯(lián)解可得2x²+2bx+b²-4=0，則

△=32-4b2＞0 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，即

b2＜8 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=

b2

2

-2，
化簡(jiǎn)得b²+3b-4=0，即（b+4）（b-1）=0，解之得b=-4或b=1，
由于b²＜8，可得b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量的數(shù)量積公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．