Question

17．已知圓O的方程為 x²+y²=9，若拋物線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），且以圓O的切線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，則拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的軌跡方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠0）
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠0）
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（y≠0）
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（y≠0）

Answer 1

分析 設(shè)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F（x，y），準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)A，B，O分別作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分別為垂足，則l為圓的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，通過(guò)|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6＞|AB|=2，說(shuō)明點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求出焦點(diǎn)F的軌跡方程．

解答 解：設(shè)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F（x，y），準(zhǔn)線(xiàn)為l，
過(guò)點(diǎn)A，B，O分別作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，
其中A′，B′，P分別為垂足，則l為圓的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，且|AA′|+BB′||=2|OP|=6．
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，
所以|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6＞|AB|=2，
所以點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
且點(diǎn)F不在x軸上，所以?huà)佄锞�(xiàn)C的焦點(diǎn)F的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$（y≠0），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想及計(jì)算能力．