Question

5．設a為實數(shù)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x＞a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}，x≤a}\end{array}\right.$，g（x）=ax|x-a|．
（1）若x≤a時，方程f（x）=g（x）無解，求a的范圍；
（2）設函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）．
①若h（x）=F′（x），寫出函數(shù)h（x）的最小值；
②當x＞a時，求函數(shù)H（x）=F（x）-x的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{3}$x³=ax|x-a|，解方程可得a的范圍；
（2）①求出h（x），配方，討論a的符號，即可得到所求最小值；
②當x＞a時，求出H（x）的導數(shù)，以及二次函數(shù)的判別式，對△≤0，求出增區(qū)間；△＞0，求出兩根，討論x₁，a，x₂的大小，結合二次不等式的解法，即可得到所求增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=g（x）且x≤a，
∴$\frac{1}{3}$x³=ax|x-a|，
∴x=0或$\frac{1}{3}$x²=a|x-a|，
由于方程f（x）=g（x）在x≤a無解，
∴a＜0；                      
（2）①∵函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}+{a}^{2}x，x＞a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}+a{x}^{2}-{a}^{2}x，x≤a}\end{array}\right.$，
∴可求得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2ax+{a}^{2}，x＞a}\\{{x}^{2}+2ax-{a}^{2}，x≤a}\end{array}\right.$，
即為h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{1}{3}a）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}，x＞a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}，x≤a}\end{array}\right.$，
當a≥0時，h（x）_min=-2a²；當a＜0時，h（x）_min=-$\frac{2}{3}$a²；
②當x＞a時，H（x）=F（x）-x=x³-ax²+（a²-1）x，
所以H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）（x＞a），
先求△=4a²-12（a²-1）=4（3-2a²），分類討論如下：
（1）當△≤0，即a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時恒成立，
所以函數(shù)H（x）的單調增區(qū)間為（a，+∞）；
（2）當△＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，
方程3x²-2ax+（a²-1）=0在R上有兩個不相等的實數(shù)根x₁=$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，
顯然x₁＜x₂；我們注意到x＞a，因此我們有必要對x₁，a，x₂的大小進行比較．
此時可作如下的分類討論：
第一種情況：當a＜x₁即a＜$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$時，
在（2）的大前提下，可解得：-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此時H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時的解集為（a，x₁]∪[x₂，+∞），
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（a，$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$]與[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
第二種情況：當x₁≤a＜x₂即$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$≤a＜$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$時，
在（2）的大前提下，可解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此時H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時的解集為[x₂，+∞），
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
第三種情況：當a≥x₂即a≥$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$時，在（2）的大前提下，
可解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此時H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時的解集為[a，+∞），
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為[a，+∞）．
綜上所述：
當a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（a，+∞）；
當-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時時，函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（a，$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$]與[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
當-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)H（x）的增區(qū)間為[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查分類討論思想方法，考查函數(shù)的單調性和最值的求法，以及運算求解能力，屬于難題．