Question

在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數(shù)）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的極坐標方程是ρsin（θ-

π

4

）=-2

2

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P是曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最小值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關系，消去θ可得曲線C的普通方程．
（Ⅱ）由點到直線的距離公式、兩角和的余弦公式，及余弦函數(shù)的有界性求得點P到直線l的距離的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程是

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數(shù)），曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4，
直線l的極坐標方程是ρsin（θ-

π

4

）=-2

2

，即ρ（sinθ-cosθ）=-4，
∴直線l的方程為：x-y-4=0，…（5分）
（Ⅱ）點P到直線l的距離d=

|2cosα-(2+2sinα)-4|

2

=

6-2 2 cos(α+ π 4 )

2

，
當cos(α+

π

4

)=1時，dmin=3

2

-2                               …（10分）

點評：本小題主要考查坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線距離公式、三角變換等內(nèi)容，屬于中檔題．