【題目】已知函數(shù).

I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

II)若上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

III)在(II)的條件下,對(duì)任意的,求證:.

【答案】I)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(II(III)證明見解析.

【解析】試題分析:(I)利用時(shí)為單調(diào)增函數(shù),時(shí)為單調(diào)減函數(shù)這一性質(zhì)來(lái)分情況討論題中單調(diào)區(qū)間問(wèn)題;(II)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與最值,若上恒成立,則函數(shù)的最大值小于或等于零.當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,,說(shuō)明時(shí),不合題意舍去.當(dāng)時(shí),的最大值小于零.上恒成立,所以只能等于零.即可求得答案;(III)首先將的表達(dá)式表達(dá)出來(lái),化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為的形式,再根據(jù)(II)的結(jié)論得到,后逐步化簡(jiǎn),原命題得證.

試題解析:(I,

當(dāng)時(shí),恒成立,則函數(shù)上單調(diào)遞增,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)時(shí),由,得,由,

,此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

II)由(I)知:當(dāng)時(shí),上遞增,,顯然不成立;

當(dāng)時(shí),,只需即可,

,則,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

.

對(duì)恒成立,也就是對(duì)恒成立,

,解得,上恒成立,則.

(III)證明:,

由(II)得上恒成立,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

又由,所以有,即.

,

則原不等式成立. ………12分)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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年齡(歲)

19

24

26

30

34

35

40

合計(jì)

工人數(shù)(人)

1

3

3

5

4

3

1

20

(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù);

(2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;

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組號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

第一組

5

0.05

第二組

35

0.35

第三組

30

0.30

第四組

20

0.20

第五組

10

0.10

合計(jì)

100

1.00

(1)試估計(jì)該校高三學(xué)生本次月考的平均分;

(2)如果把表中的頻率近似地看作每個(gè)學(xué)生在這次考試中取得相應(yīng)成績(jī)的概率,那么從所有學(xué)生中采用逐個(gè)抽取的方法任意抽取3名學(xué)生的成績(jī),并記成績(jī)落在中的學(xué)生數(shù)為

求:在三次抽取過(guò)程中至少有兩次連續(xù)抽中成績(jī)?cè)?/span>中的概率;

的分布列和數(shù)學(xué)期望.(注:本小題結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)

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