Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+（k+4）x，g（x）=x²-4x．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，0），求k的值；
（2）若函數(shù)y=g（x）（x∈[t，4]）的值域?yàn)閰^(qū)間D，是否存在常數(shù)t，使區(qū)間D的長度為7-2t，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由（區(qū)間[p，q]的長度為q-p）；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)不同的x₁，x₂解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)求出k即可．
（2）化簡g（x）=（x-2）²-4，x∈[t，4]．通過①當(dāng)2≤t＜4時(shí)，②當(dāng)0≤t＜2時(shí)，③當(dāng)t＜0時(shí)，轉(zhuǎn)化求解t的范圍．
（3）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程h（x）=0轉(zhuǎn)化求解，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，方程h（x）=0化為2x²+kx-1=0，求解k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（1）=0，即k+4=0，∴k=-4．…（3分）
（2）∵g（x）=x²-4x=（x-2）²-4，x∈[t，4]．…（4分）
①當(dāng)2≤t＜4時(shí)，g（t）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[t²-4t，0]，
∴0-（t²-4t）=7-2t，解之得$t=3±\sqrt{2}∉[2，4）$，∴t∈ϕ．…（5分）
②當(dāng)0≤t＜2時(shí)，g（2）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[-4，0]，
即7-2t=4，解之得$t=\frac{3}{2}∈（0，2）$，∴$t=\frac{3}{2}$．…（6分）
③當(dāng)t＜0時(shí)，g（2）≤g（x）≤g（t）⇒g（x）∈[-4，t²-4t]，
即t²-4t+4=7-2t，解之得t=-1或t=3∉（-∞，0），∴t=-1；
綜上所述，$t=\frac{3}{2}$或t=-1．…（8分）
（3）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程h（x）=0化為kx+1=0，k=0時(shí)，無解，k≠0時(shí)，$x=-\frac{1}{k}$；…（9分）
∴$0＜-\frac{1}{k}≤1$，∴k≤-1．
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，方程h（x）=0化為2x²+kx-1=0，$x=\frac{{-k±\sqrt{{k^2}+8}}}{4}$，
而$\frac{{-k-\sqrt{{k^2}+8}}}{4}＜\frac{-k-|k|}{4}≤0$，故f（x）=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)至多有一解：$x=\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8}}}{4}$，
∴$1＜\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8}}}{4}＜2$，∴$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．…（12分）
綜合所述，$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．