Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinα-cosα}\\{y=3-2\sqrt{3}sinαcosα-2co{s}^{2}α}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立直線與拋物線，利用曲線C₁與曲線C₂有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinα-cosα}\\{y=3-2\sqrt{3}sinαcosα-2co{s}^{2}α}\end{array}\right.$，消去參數(shù)，可得y=x²（-2≤x≤2）
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0；
（2）聯(lián)立直線與拋物線可得x²-x-m=0，
∵曲線C₁與曲線C₂有公共點(diǎn)，
∴m=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵-2≤x≤2，
∴-$\frac{1}{4}$≤m≤6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．