Question

9．已知動點P（x，y）在橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1上，過坐標原點的直線BC與橢圓相交，交點為B，C，點Q是三角形PBC的重心，若點A的坐標為（3，0），|${\overrightarrow{AM}}$|=1，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{AM}$=0，則|${\overrightarrow{QM}}$|的最小值是$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把求|${\overrightarrow{QM}}$|的最小值轉(zhuǎn)化為求|$\overrightarrow{QA}$|的最小值，再數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：如圖，
∵|${\overrightarrow{AM}}$|=1，∴M在以A（3，0）為圓心，以1為半徑的圓上，
又$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{AM}$=0，∴△QMA是以∠QMA為直角的直角三角形，
∴要使|${\overrightarrow{QM}}$|最小，則|$\overrightarrow{QA}$|最小，即O、Q、A共線且Q、A在O的同側(cè)，此時P與橢圓右頂點重合，
∵點Q是三角形PBC的重心，∴|OQ|=$\frac{1}{3}a=\frac{5}{3}$，
則$|\overrightarrow{QA}{|}_{min}=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$，∴$|\overrightarrow{QM}{|}_{min}=\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-{1}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．