Question

已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分別為AB、FC的中點，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）求證：OM∥平面DAF；
（Ⅲ）設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE的值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：

分析：（Ⅰ）欲證AF⊥平面FBC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面FBC內(nèi)兩相交直線垂直，而BC⊥AF，BF⊥AF，BC∩BF=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）欲證OM∥平面DAF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OM與平面DAF內(nèi)一直線平行即可，取FD中點N，連接MN、AN，易得OM∥ON，找出了定理的條件；
（Ⅲ）過F作FG⊥AB與G，由題意可得：FG⊥平面ABCD，求出V_F-ABCD=

2

3

FG，V_F-CBE=V_C-BFE=

1

6

FG，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB
BC?平面ABCD，而四邊形ABCD為矩形∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF∵AF?平面ABEF∴BC⊥AF
∵BF⊥AF，BC∩BF=B∴AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）證明：取FD中點N，連接MN、AN，則MN∥CD，且MN=

1

2

CD，
又四邊形ABCD為矩形，∴MN∥OA，且MN=OA
∴四邊形AOMN為平行四邊形，∴OM∥AN
又∵OM?平面DAF，AN?平面DAF∴OM∥平面DAF．      …（8分）
（Ⅲ）解：過F作FG⊥AB與G，由題意可得：FG⊥平面ABCD

∴V_F-ABCD=

1

3

S_矩形ABCD×FG=

2

3

FG
∵CB⊥平面ABEF，
∴V_F-CBE=V_C-BFE=

1

3

S_△BFE×CB=

1

3

•

1

2

EF•FG•CB=

1

6

FG，
∴V_F-ABCD：V_F-CBE=4：1         …（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直、直線與平面平行的判定，考查體積的計算考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．