Question

10．某獎勵基金發(fā)放方式為：每年一次，把獎金總額平均分成6份，獎勵在某6個方面為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息存入基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加．假設基金平均年利率為r=6.24%，2000年該獎發(fā)放后基金總額約為21000萬元．用a_n表示為第n（n∈N^*）年該獎發(fā)放后的基金總額（2000年為第一年）．
（1）用a₁表示a₂與a₃，并根據(jù)所求結果歸納出a_n的表達式；
（2）試根據(jù)a_n的表達式判斷2011年度該獎各項獎金是否超過150萬元？并計算從2001年到2011年該獎金累計發(fā)放的總額．
（參考數(shù)據(jù)：1.0624¹⁰=1.83，1.032⁹=1.32，1.0312¹⁰=1.36，1.032¹¹=1.40）

Answer 1

分析 （1）由題意可得a₂=a₁（1+3.12%），a₃=${a}_{1}（1+3.12%）^{2}$，即可歸納出a_n．
（2）利用（1）的通項公式a_n可得a₁₁，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出從2001年到2011年該獎金累計發(fā)放的總額．

解答 解：（1）由題意知：${a_2}={a_1}（1+6.24%）-\frac{1}{2}{a_1}•6.24%={a_1}（1+3.12%）$，${a_3}={a_2}（1+6.4%）-\frac{1}{2}{a_2}•6.24%={a_2}（1+3.12%）={a_1}{（1+3.12%）^2}$，
可得：${a_n}=21000{（1+3.12%）^{n-1}}（n∈{N^*}）$．
（2）2010年該獎發(fā)放后基金總額為$a_{11}^{\;}=21000{（1+3.12%）^{10}}$，
2011的度該獎各項獎金額為$\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•{a_{11}}6.24%≈149$（萬元）
由此可知，2011年度該獎各項獎金沒有超過150萬元．
從2001年到2011年該獎金累計發(fā)放的總額為：
${a_1}\frac{6.24%}{2}+{a_2}\frac{6.24%}{2}+…+{a_{10}}\frac{6.24%}{2}=3.12%（{a_1}+{a_2}+…+{a_{10}}）$
=$3.12%\frac{{21000（{{1.0312}^{10}}-1）}}{1.0312-1}=7560$（萬元）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．