Question

如圖，MA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，四邊開ADNM是平行四邊形．
（Ⅰ）若E為AB的中點(diǎn)，求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）若P為BD上的動點(diǎn)，求證：不論P(yáng)在何位置，總有AC⊥NP．

Answer 1

分析：（1）通過證明四邊形BCNM為平行四邊形，證明F為BN的中點(diǎn)，根據(jù)EF是△ACM的中位線，證明EF∥AN，從而證明AN∥平面MEC；
（2）利用AM∥DN與AM⊥AC，證明DN⊥AC，再證明AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可證明AC⊥平面BDN，從而證明AC垂直于平面內(nèi)的所有直線．

解答：證明：（I）連接BN、CM，設(shè)BN∩CM=F，
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形ADNM是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD∥MN，∴BC∥MN，
又AD=BC=MN，∴四邊形BCNM為平行四邊形，∴F為BN的中點(diǎn)，
∴EF∥AN，EF?平面MEC，AN?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（II）∵M(jìn)A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AM⊥AC，
∵AM∥DN，∴DN⊥AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵BD∩DN=D
∴AC⊥平面BDN．
∵NP?平面BDN，∴AC⊥NP．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力，推理論證努力．