已知點P在圓x2+y2=1上運動,過點P作x軸的垂線,垂足為D,點M在DP的延長線上,且有|DP|=|MP|.(1)求M點的軌跡方程C;(2)已知直線l過點(0,),且斜率為1,求l與C相交所得的弦長.
(1) x2 +=1
(2)
【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),以及動點的軌跡方程,涉及的知識有:直線與圓的交點,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,基本不等式的運用,以及直線與圓相切時,圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質(zhì),利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想,是一道綜合性較強的試題.
(1)設(shè)出M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x0,y0),由題意DP⊥x軸,點M在DP的延長線上,且|DP|=|MP|,找出x0與x的關(guān)系及y0與y的關(guān)系,記作①,根據(jù)P在圓上,將P的坐標代入圓的方程,記作②,將①代入②,即可得到點M的軌跡方程;
(2)直線與圓聯(lián)立求解方程組,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長公式。
解:(1)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),由題意知,
……3分
又點P在圓x2+y2=1,可得M點的軌跡方程為x2 +=1. ……6分
(2)由(1)知聯(lián)立上式得4x2+(x+
)2=4,5x2+2
x-1=0,可知必有D>0…8分
設(shè)l與C的交點為A(x1,y1), B(x2,y2),則有x1+x2 =-, x1x2
=-
.…10分
\|AB|=|x1-x2|=
==
=
. ……12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:濰坊二模 題型:單選題
A.x2+y2-x=0 | B.x2+y2-y-1=0 |
C.x2+y2-y-2=0 | D.x2+y2-x+y=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年寧夏銀川市賀蘭一中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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