Question

15．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)M、N分別是棱AB、CD的中點(diǎn)．
（1）證明：BN⊥平面PCD；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)H，使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，若存在，請求出H點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，證明：BN⊥CD，PD⊥BN，即可證明BN⊥平面PCD；
（2）假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)H，連接MH，DH，MD，可得∠MHD為MH與平面PCD所成的角，在直角三角形MDH中，$DM=\sqrt{3}$，當(dāng)DH最小，即DH⊥PC時(shí)，∠DHM最大，利用條件求出CH，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=∠BAD=60°
∴△BCD為正三角形，∵N為CD中點(diǎn)，所以BN⊥CD…（2分）
∵PD⊥平面ABCD，BN?平面ABCD，∴PD⊥BN，…．（4分）
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，CD∩PD=D，∴BN⊥平面PCD…6 分
（2）解：假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)H，連接MH，DH，MD，
MBDN為平行四邊形，∴MD∥BN，
由（1）BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD，∴∠MHD為MH與平面PCD所成的角…（9分）
在直角三角形MDH中，$DM=\sqrt{3}$，當(dāng)DH最小，即DH⊥PC時(shí)，∠DHM最大，
$tan∠DHM=\frac{DM}{DH}=\frac{{\sqrt{3}}}{DH}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$DH=\sqrt{2}$
在Rt△DHC中$DH=\sqrt{2}，CD=2$，∴$CH=\sqrt{2}$…（11分）
∴線段PC上存在點(diǎn)H，當(dāng)$CH=\sqrt{2}$時(shí)，使MH與平面PCD所成最大角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．