Question

10．曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$與直線kx-y-2k+5=0有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（\frac{3}{4}，1]$．

Answer 1

分析 將曲線方程化簡(jiǎn)，可得曲線表示以C（0，1）為圓心、半徑r=2的圓的上半圓．再將直線方程化為點(diǎn)斜式，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)A（2，5）且斜率為k．作出示意圖，設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為B（-2，1），當(dāng)直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時(shí)，直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)．由此利用直線的斜率公式與點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：化簡(jiǎn)曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$，得x²+（y-1）²=4（y≥1）
∴曲線表示以C（0，1）為圓心，半徑r=2的圓的上半圓．
∵直線kx-y-2k+5=0可化為y-5=k（x-2），
∴直線經(jīng)過定點(diǎn)A（2，5）且斜率為k．
又∵半圓y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$與直線kx-y-2k+5=0有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，
∴設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為B（-2，1），
當(dāng)直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時(shí)，
直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)．
由點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)滿足$\frac{|-1-2k+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解之得k=$\frac{3}{4}$，即k_AD=$\frac{3}{4}$．
又∵直線AB的斜率k_AB=1，∴直線的斜率k的范圍為k∈$（\frac{3}{4}，1]$．
故答案為$（\frac{3}{4}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍．著重考查了直線的方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．