Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊外的一點(diǎn)，滿足：CE∥BD，BE=BD，則CE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由正方形ABCD，得到三角形DCB為等腰直角三角形，且兩直角邊為1，根據(jù)勾股定理求出BD的長，又BE=BD，從而得到BE的長，設(shè)CF=x，故BF=BC-CF=1-x，在直角三角形BCF中，由BC=1，CF=x，根據(jù)勾股定理表示出BF，再由BE-BF表示出EF，由EC與BD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得出兩對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用兩對角對應(yīng)相等的兩三角形相似可得三角形BDF與三角形ECF相似，根據(jù)相似得比例，把各邊的長代入列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而求出相似比，可得出CE的長．

解答 解：$BE=BD=\sqrt{2}$，設(shè)CF=x，則$BF=\sqrt{1+{x^2}}$，DF=1-x，
EF=$\sqrt{2}$-$\sqrt{1{+x}^{2}}$，由△BDF～△ECF，得$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}=\frac{EC}{BD}$，
即有$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{1+{x^2}}}}=\frac{x}{1-x}$，所以$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{x}{1}$，$\frac{{\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1-x}{1}$，則$x=2-\sqrt{3}$，
再由$\frac{EC}{BD}=\frac{CF}{DF}$，即$\frac{EC}{{\sqrt{2}}}=\frac{x}{1-x}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}-1}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，所以$EC=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，相似三角形是中考的必考內(nèi)容，證明三角形的相似可以得到其對應(yīng)邊成比例，利用比例式建立已知邊與未知邊的聯(lián)系，借助方程的思想來解決問題，利用線段的加減及勾股定理表示出相似三角形的對應(yīng)邊是解本題的關(guān)鍵．