Question

2．在銳角△ABC中，A，B，C角所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{acosB+bcosA}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC．
（1）求∠C；
（2）若$\frac{a}{sinA}$=2，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，即可求∠C；
（2）若$\frac{a}{sinA}$=2，可得c=$\sqrt{3}$．由余弦定理得3=b²+a²-ab≥ab（a=b時取等號），即可求△ABC面積S的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∴sin（A+B）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∵sinC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C為銳角，
∴C=60°；
（2）由$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2，可得c=$\sqrt{3}$．
由余弦定理得3=b²+a²-ab≥ab（a=b時取等號），
∴S=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}•3•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面積S的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理的運用，三角形的面積公式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．