Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）短軸的端點(diǎn)P（0，b）、Q（0，-b），長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，AB為經(jīng)過(guò)橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦，若PA、PB的斜率之積等于-$\frac{1}{4}$，則P到直線QM的距離為$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$．

Answer 1

分析 利用直線的斜率公式，求得k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}-^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，由A在橢圓上，則$\frac{{y}^{2}-^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，即可求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，求得a=2b，利用三角形的面積相等，即$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•丨OM丨=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•d，即可求得d的值．

解答 解：根據(jù)題意可得P（0，b）、Q（0，-b），設(shè)A（x，y），B（-x，-y），
由直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，
則k_PA•k_PB=$\frac{y-b}{x}$•$\frac{-y-b}{-x}$=$\frac{{y}^{2}-^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
由A在橢圓上可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則$\frac{{y}^{2}-^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即a=2b，
△PMQ的面積S=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•丨OM丨=$\frac{1}{2}$×2b×a=2b²，
設(shè)P到直線MQ的距離d，
則S=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$•d=$\frac{\sqrt{5}b}{2}$•d=2b²，
解得：d=$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$，
∴P到直線QM的距離$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率公式，利用三角形的面積相等求點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．