已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-2
2
，0）和 F2（2
2
，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線(xiàn)y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．
求：
（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)．
分析：（1）由橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-2
2
，0）和 F2（2
2
，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB線(xiàn)段的中點(diǎn)為M（x0，y0），由
x2+9y2=9
y=x+2
，得10x2+36x+27=0，故x1+x2=-
18
5
，x1x2=
27
10
，由此能求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-2
2
，0）和 F2（2
2
，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，
∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c=2
2
，a=3，∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
x2
9
+y2=1
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
AB線(xiàn)段的中點(diǎn)為M（x0，y0）
由
x2+9y2=9
y=x+2
，消去y，得10x2+36x+27=0，
∴x1+x2=-
18
5
，x1x2=
27
10
，
∴x0=-
9
5
，∵y0=x0+2=2-
9
5
=
1
5
，
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-
9
5
，
1
5
），
|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
2
(-
18
5
)2-4×
27
10
=
6
3
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），B是它的下頂點(diǎn)，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓及其右準(zhǔn)線(xiàn)分別交于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰好是BQ的中點(diǎn)，則此橢圓的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線(xiàn)為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線(xiàn)的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)
FA
=λ
AP
時(shí)，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，OA•OB=
56
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線(xiàn)l，使得在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上可以找到一點(diǎn)P，滿(mǎn)足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線(xiàn)l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，-
2
)，點(diǎn)M(1，
2
)在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）已知直線(xiàn)l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△MAB的面積
（Ⅲ）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，若∠PMF=90°，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，離心率為
2
2
，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)到下焦點(diǎn)F的距離是
2
．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)直線(xiàn)y=-2與y軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

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