已知橢圓C的對稱軸為坐標軸,一個焦點為F(0,-
2
)
,點M(1,
2
)
在橢圓C上
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程
(Ⅱ)已知直線l:2x-y-2=0與橢圓C交于A,B兩點,求△MAB的面積
(Ⅲ)設(shè)P為橢圓C上一點,若∠PMF=90°,求P點的坐標.
分析:(Ⅰ)橢圓C的對稱軸為坐標軸,一個焦點為F(0,-
2
)
,故可設(shè)橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
a2-2
=1
,再將點M的坐標代入即可的a2的值,最后寫出標準方程即可
(Ⅱ)先將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立,解得A、B兩點的坐標,從而求出|AB|,再利用點到直線的距離公式,計算M到直線AB的距離d,最后由三角形面積公式S△MAB=
1
2
|AB|•d
計算△MAB的面積即可
(Ⅲ)先由∠PMF=90°得直線PM的斜率,從而寫出直線PM的方程,再代入橢圓的方程,即可解得P點的坐標,注意此直線與橢圓有兩個交點M,P
解答:解:(Ⅰ)∵橢圓C的對稱軸為坐標軸,一個焦點為F(0,-
2
)
,
可設(shè)橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
a2-2
=1

將點M(1,
2
)
代入方程得
2
a2
+
1
a2-2
=1

解得a2=4或a2=1(舍去)
∴橢圓C的標準方程為
y2
4
+
x2
2
=1

(Ⅱ)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程
2x-y-2=0
y2
4
+
x2
2
=1

解得
x1=0
y1=-2
x2=
4
3
y2=
2
3
即A(0,-2),B(
4
3
,
2
3

∴|AB|=
(
4
3
-0)
2
+(
2
3
+2)
2
=
4
5
3

M(1,
2
)
到直線l的距離d=
|2-
2
-2|
4+1
=
10
5

S△MAB=
1
2
|AB|•d=
1
2
×  
4
5
3
× 
10
5
=
2
2
3

(Ⅲ)設(shè)直線FM的斜率為k,則k=
2
-(-
2
)
1-0
=2
2

∵直線PM垂直于直線FM
∵直線PM的斜率為-
1
k
=-
2
4

故直線PM的方程為y=-
2
4
(x-5)
代入橢圓方程得17x2-10x-7=0,解得x=1或x=-
7
17

∴點P的坐標為(-
7
17
23
2
17
點評:本題考察了橢圓的標準方程及其求法,直線與橢圓的位置關(guān)系,特別是直線與橢圓相交時如何求弦長和三角形面積.
練習冊系列答案
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3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的焦點在y軸上,斜率為1的直線l與C相交于A,B兩點,且|AB|=
16
5
2
,求直線l的方程.

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2
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2
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知直線l:2x-y-2=0與橢圓C交于A,B兩點,求△MAB的面積.

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1
2
,且經(jīng)過點(1,
3
2
)

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(2)設(shè)直線y=kx-2與橢圓C相交于A,B兩點,且
OM
=
1
3
OA
,
ON
=
2
3
OB
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江西省宜春市上高二中高二(下)第一次月考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸,且短軸長為4,離心率為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的焦點在y軸上,斜率為1的直線l與C相交于A,B兩點,且,求直線l的方程.

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