Question

設(shè)集合A={x|x²+2x-3＞0}，集合B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  3

  4

  )
• B．[

  3

  4

  ，

  4

  3

  )
• C．[

  3

  4

  ，+∞)
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：先求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A，B，然后分析集合B的左端點(diǎn)的大致位置，結(jié)合A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)得集合B的右端點(diǎn)的范圍，列出無(wú)理不等式組后進(jìn)行求解．

解答：解：由x²+2x-3＞0，得：x＜-3或x＞1．
由x²-2ax-1≤0，得：a-

a2+1

≤x≤a+

a2+1

．
所以，A={x|x²+2x-3＞0}={x|x＜-3或x＞1}，B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}={x|a-

a2+1

≤x≤a+

a2+1

}．
因?yàn)閍＞0，所以a+1＞

a2+1

，則a-

a2+1

＞-1且小于0．
由A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，所以2≤a+

a2+1

＜3．
即

a+ a2+1 ≥2 a+ a2+1 ＜3

，也就是

a2+1 ≥2-a① a2+1 ＜3-a②

．
解①得：a≥

3

4

，解②得：a＜

4

3

．
所以，滿足A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

3

4

，

4

3

)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了無(wú)理不等式的解法，求解無(wú)理不等式是該題的一個(gè)難點(diǎn)．此題屬中檔題．