Question

如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn), =4.

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′,過(guò)P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

解:(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1,

又e=,故b2==8,從而a2==16.

故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×（1-）=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).

設(shè)P(x1,y1),由題意知,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),

因此,當(dāng)x=x1時(shí)|QM|2取最小值,

又x1∈(-4,4),所以當(dāng)x=2x0時(shí)|QM|2取最小值,

從而x1=2x0,且|QP|2=8-.

由對(duì)稱(chēng)性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,

所以S=|2y1||x1-x0|

=×2|x0|

=

=·.

當(dāng)x0=±時(shí),△PP′Q的面積S取得最大值2.

此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±,0),半徑|QP|==,

因此,這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.