Question

6．如圖：已知直角三角形ABC，∠B為直角，∠C的平分線交AB于D，以AD為直徑作圓O，交AC于點E，交CD于F．
（1）求證：C、B、D、E四點共圓：
（2）若AE=$2\sqrt{2}$，BD=1，求F到線段AC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接DE，則∠DEC=90°，證明C，E，D，B四點共圓即可；（2）若BD=1，AE=2$\sqrt{2}$，求出CF，AF，即可求點F到線段AC的距離．

解答 證明：（1）連接DE，則∠DEC=90°，
∵∠B=90°，
∴C，E，D，B四點共圓；
解：（2）若AE=$2\sqrt{2}$，BD=1，
則DE=1，AD=3，
由AE•AC=AD•AB，
得：AC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，
由CE•CA=CD•CF，
得：CF=2$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{{AC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
設F到線段AC的距離是h，
由AC•h=AF•CF，
∴h=$\frac{AF•CF}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}•2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$=2．

點評 本題主要考查與圓有關的比例線段和切割線定理，證明乘積式的問題，屬于中檔題．