【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=

(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角B一PC﹣D的余弦值.

【答案】
(1)證明:取AB的中點O,連接PO,CO,AC,

∵△APB為等腰三角形,∴PO⊥AB

又∵四邊形ABCD是菱形,∠BCD=120°,

∴△ACB是等邊三角形,∴CO⊥AB

又CO∩PO=O,∴AB⊥平面PCO,

又PC平面PCO,∴AB⊥PC


(2)解:∵ABCD為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= ,

∴PO=1,CO= ,∴OP2+OC2=PC2,

∴OP⊥OC,

以O(shè)為原點,OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,﹣1,0),B(0,1,0),C( ,0,0),

P(0,0,1),D( ,﹣2,0),

=( ,﹣1,0), =( ,0,-1), =(0,2,0),

設(shè)平面DCP的法向量 =(x,y,z),

,令x=1,得 =(1,0, ),

設(shè)平面PCB的法向量 =(a,b,c),

,令a=1,得 =(1, , ),

cos< >= = ,

∵二面角B一PC﹣D為鈍角,∴二面角B一PC﹣D的余弦值為﹣


【解析】(1)取AB的中點O,連接PO,CO,AC,由已知條件推導(dǎo)出PO⊥AB,CO⊥AB,從而AB⊥平面PCO,由此能證明AB⊥PC.(2)由已知得OP⊥OC,以O(shè)為原點,OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,需要了解相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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【題目】某種藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘,由于下雨會影響藥材的收益,若基地收益如下表所示:已知下周一和下周二無雨的概率相同且為,兩天是否下雨互不影響,若兩天都下雨的概率為

(1)求及基地的預(yù)期收益;

(2)若該基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù),若周一無雨時收益為萬元,有雨時收益為萬元,且額外聘請工人的成本為元,問該基地是否應(yīng)該額外聘請工人,請說明理由.

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