Question

已知函數(shù)f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a為常數(shù)，e=2.718…，函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標軸交點處的切線為l₁，函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=1交點處的切線為l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若對任意的x∈[1，5]，不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域內的任意實數(shù)x．我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數(shù)在x₀處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，2a+1），
又f′（x）=2ae^x，∴f′（0）=2a，
函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=1的交點為（2a，1），
又g′（x）=，g′（2a）=
由題意可知，2a=，即a²=
又a＞0，所以a=
不等式可化為m＜x-f（x）+
即m＜x-，令h（x）=x-，則h′（x）=1-（）e^x，
∵x＞0，∴≥，
又x＞0時，e^x＞1，∴（）e^x＞1，故h′（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
即h（x）在[1，5]上是減函數(shù)
因此，在對任意的x∈[1，5]，不等式成立，
只需m＜h（5）=5-，
所以實數(shù)m的取值范圍是（-∞，5-）
（Ⅱ）證明：y=f（x）和y=g（x）公共定義域為（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，
∴|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|
令q（x）=e^x-x-1，則q′（x）=e^x-1＞0，
∴q（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
故q（x）＞q（0）=0，即e^x-1＞x    …①
令m（x）=lnx-x+1，則m′（x）=，
當x＞1時，m′（x）＜0；當0＜x＜1時，m′（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②
由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2
又由①得e^x＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x，∴e^x＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=e^x-lnx＞2
故函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2
分析：（Ⅰ）分別求得切點處的導數(shù)值，可得方程，進而可得a值，不等式可化為m＜x-，令h（x）=x-，求導數(shù)可得函數(shù)h（x）在[1，5]上是減函數(shù)，從而可得m＜h（5）即可；
（Ⅱ）可得a=，進而可得|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|，通過構造函數(shù)q（x）=e^x-x-1，可得e^x-1＞x    …①，構造m（x）=lnx-x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2，還可得e^x＞lnx，綜合可得結論．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及切線的方程，涉及新定義，屬中檔題．