Question

如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余地方種花，BC=a（a為定值），∠ABC=θ，△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，當

S1

S2

取得最小值時，角θ的值為（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  5π

  12

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,解三角形

分析：據(jù)題知三角形ABC為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；由比值

S1

S2

，可設t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．

解答： 解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
S1=

1

2

AB•AC=

1

2

a²sinθcosθ．
設正方形的邊長為x則 BP=

x

sinθ

，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得

x

sinθ

+xcosθ=acosθ，故 x=

asinθcosθ

1+sinθcosθ

∴S₂=x²=（

asinθcosθ

1+sinθcosθ

）²

S1

S2

=

1

2

•

(1+sinθcosθ)2

sinθcosθ

=

(1+ 1 2 sin2θ)2

sin2θ

=

1

sin2θ

+

1

4

sin2θ+1，
令t=sin2θ，因為 0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]．
∴

S1

S2

=

1

t

+

1

4

t+1=g（t），g′（t）=-

1

t2

+

1

4

＜0，
∴函數(shù)g（t）在（0，1]上遞減，
因此當t=1時g（t）有最小值 g（t）_min=g（1）=

9

4

，
此時 sin2θ=1，θ=

π

4

∴當 θ=

π

4

時，

S1

S2

最小，最小值為

9

4

．
故選：B．

點評：考查學生會根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)關系的能力，以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型的能力．