Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，橢圓短軸的端點和焦點組成的四邊形為正方形，且

2a2

c

=4．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l過點P（0，2），且與橢圓相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由條件得b=c，a²=2c，a²=b²+c²，解出即可；
（2）直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得關(guān)于x的方程，運用韋達定理，弦長公式以及三角形的面積公式，再由基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
則由條件得，b=c，a²=2c，a²=b²+c²，
解得a²=2，b=c=1．
故橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，
由y=kx+2和橢圓方程

x2

2

+y2=1，聯(lián)立，消去y得
（1+2k²）x²+8kx+6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8kx

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
∵△＞0，∴k²＞

3

2

，
∴|AB|=

(1+k2)[ 64k2 (1+2k2)2 - 24 1+2k2 )

，
又O到直線AB的距離為d=

2

1+2k2

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|d=

16k2-24

1+2k2

=2

2

•

2k2-3

1+2k2

令t=

2k2-3

（t＞0），則S=2

2

•

1

t+ 4 t

≤

2

2

，
當且僅當t²=4，即k=±

14

2

時，取等號，
此時直線方程為y=±

14

2

x+2．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運用，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，運用韋達定理，和弦長公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．