【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,AB為橢圓的一條弦(不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)),直線y=kx(k>0)經(jīng)過(guò)弦AB的中點(diǎn),與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線AB的斜率為k1 .
(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1, ),求橢圓C的方程;
(2)求證:k1k為定值;
(3)過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為R,若直線AB和直線QR傾斜角互補(bǔ).若△PQR的面積為2 ,求橢圓C的方程.
【答案】
(1)解:由條件得: ,解得a=2,b= ,
∴橢圓方程為 =1
(2)證明:設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由于A,B為橢圓上的點(diǎn),
∴ , ,
兩式相減得: + =0,即 =﹣ =﹣ ,
∵k1= ,k= ,
∴k1=﹣ ,即k1k=﹣ .
∵e= = ,∴ = = ,
∴k1k=﹣
(3)解:設(shè)Q(s,t)(s>0,t>0),則P(﹣s,﹣t),R(﹣s,0),
∴kQR= = ,
∵直線AB和直線QR傾斜角互補(bǔ),
∴ =﹣k1,又k1k=﹣ ,且k>0,
∴k= ,
又S△PQR=st=2 , =k= ,
∴s=2,t= ,即Q(2, ),
∴ =1,又 ,
∴a=2 ,b=3,
∴橢圓方程為
【解析】(1)將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入橢圓方程,再根據(jù)橢圓的離心率公式e=及橢圓中a2=b2+c2,得到關(guān)于a、b、c的三個(gè)方程:(2)設(shè)出點(diǎn)A、點(diǎn)B及AB中點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用”點(diǎn)差法“及斜率公式k=分別將k1、k用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái);(3)設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),根據(jù)P、Q、R三點(diǎn)間的位置關(guān)系將點(diǎn)P、點(diǎn)R的坐標(biāo)用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來(lái),然后根據(jù)直線斜率公式k=將直線QR的斜率用點(diǎn)Q、點(diǎn)R的坐標(biāo)表示找出k1與k的關(guān)系,與k1k=-聯(lián)立解出k,再將S用點(diǎn)的坐標(biāo)表示并將點(diǎn)Q的坐標(biāo)解出后代入橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (a<0)的定義域?yàn)镈,若所有點(diǎn)(s,f(t)(s,t∈D)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域,則a的值為( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣8
D.不能確定
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【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
0 | |||||
0 | 2 | 0 | 0 |
(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;函數(shù)的解析式為= (直接寫(xiě)出結(jié)果即可);
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】斜棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥面ABC,側(cè)面AA1C1C為菱形,∠A1AC=60°,E,F(xiàn)分別為A1C1和AB的中點(diǎn).
(1)求證:平面CEF⊥平面ABC;
(2)若三棱柱的所有棱長(zhǎng)為2,求三棱柱F﹣ECB的體積;
(3)D為棱BC上一點(diǎn),若C1D∥EF,請(qǐng)確定點(diǎn)D位置,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為 ﹣1,短軸長(zhǎng)為2 . (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn),若△OAB(O為直角坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為 ,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C1:(x﹣1)2+y2=1與曲線C2:y(y﹣mx﹣m)=0,則曲線C2恒過(guò)定點(diǎn);若曲線C1與曲線C2有4個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 +y2=1(a>1),過(guò)直線l:x=2上一點(diǎn)P作橢圓的切線,切點(diǎn)為A,當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí),切線PA的斜率為± . (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△POA面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿足, ,數(shù)列滿足, ,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】已知函數(shù)fn(x)= (n∈N*),關(guān)于此函數(shù)的說(shuō)法正確的序號(hào)是
①fn(x)(n∈N*)為周期函數(shù);②fn(x)(n∈N*)有對(duì)稱軸;③( ,0)為fn(x)(n∈N*)的對(duì)稱中心:④|fn(x)|≤n(n∈N*).
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