Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=-$\frac{1}{2}$，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N⁺），設(shè)b_n=a_n+n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若c_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-a_n，P_n為數(shù)列{$\frac{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}+1}{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}}$}的前n項和，求不超過P₂₀₁₅的最大的整數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可證明，
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求出，
（Ⅲ）利用裂項求和即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N⁺），
∴2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴2b_n=b_n-1，
∵b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是以$\frac{1}{2}$為首項以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴nb_n=n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+3×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n，
∴c_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-a_n=n，
∴$\frac{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}+1}{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{{n}^{2}+n}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴p_n=n+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=n+1-$\frac{1}{n+1}$，
∴p₂₀₁₅=2016-$\frac{1}{2016}$＜2016，
故不超過P₂₀₁₅的最大的整數(shù)2016．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式公式的求法和錯位相減法求和和裂項求和，屬于中檔題．