【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當 時,求證:.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的解析式,進而得到其導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)的取值進行分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性;(2)由題意即證不等式成立,設(shè) ,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得 ,然后再證明即可得到結(jié)論成立.
(1)由題意得,
所以,
令,得或.
①當時,
則當時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當時,,函數(shù)單調(diào)遞增.
②當時,
則當或時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減.
③當時,恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
④當時,
則當或時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減.
綜上可得,當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當時,在上單調(diào)遞增;
當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由題意得即證不等式成立.
設(shè),
則,
又,
∴當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.
∴.
又,
∴在上單調(diào)遞減,
∴,
∴,即.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的正四棱柱的底面邊長為,側(cè)棱,點在棱上,
且 ().
(1)當時,求三棱錐的體積;
(2)當異面直線與所成角的大小為時,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計,可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓的半徑為,設(shè),圓錐的側(cè)面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了達到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時腰的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點,是直徑,,直線平面.
(1)證明:;
(2)若M為的中點,求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P–ABCD中,底面ABCD是邊長為6的正方形,PD平面ABCD,PD=8.
(1) 求PB與平面ABCD所成角的大;
(2) 求異面直線PB與DC所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①;②這兩個條件中任選-一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題.
在中,角的對邊分別為,已知 ,.
(1)求;
(2)如圖,為邊上一點,,求的面積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的離心率為,長半軸長為短軸長的b倍,A,B分別為橢圓C的上、下頂點,點.
求橢圓C的方程;
若直線MA,MB與橢圓C的另一交點分別為P,Q,證明:直線PQ過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,橢圓: 的左、右焦點分別為,兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等腰直角三角形,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)如圖所示,過橢圓的左焦點作直線(斜率存在且不為0)交橢圓于兩點,過右焦點作直線交橢圓于兩點,且,直線交軸于點,動點(異于)在橢圓上運動.
①證明: 為常數(shù);
②當時,利用上述結(jié)論求面積的取值范圍.
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