如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),寫(xiě)出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程;(不要求證明)

(3)直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)與直線(xiàn)垂直,點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,證明:直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

【答案】

(1);(2);(3)證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)為

【解析】

試題分析:(1)本題動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于圓上中,本來(lái)這種問(wèn)題可以用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程,但本題用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法會(huì)很繁,考慮到圓的半徑不變,垂直平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,我們可以看出

,是定值,而且,因此點(diǎn)軌跡是橢圓,這樣我們可以利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出所求軌跡方程;(2)圓錐曲線(xiàn)的過(guò)其上點(diǎn)的切線(xiàn)方程,橢圓,切線(xiàn)為

雙曲線(xiàn),切線(xiàn)為,拋物線(xiàn),切線(xiàn)為;(3)這題考查同學(xué)們的計(jì)算能力,現(xiàn)圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題,由(2)我們知道切線(xiàn)斜率為,則直線(xiàn)的斜率為,又過(guò)點(diǎn),可以寫(xiě)出直線(xiàn)方程,然后求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線(xiàn)的方程,接著可從的方程觀(guān)察出是不是過(guò)定點(diǎn),過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)?這里一定要小心計(jì)算.

試題解析:(1)點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),∴ 

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(-1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓.

橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2.  

∴曲線(xiàn)E的方程為     5′

(2)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程是.   8′

(3)直線(xiàn)的方程為,即 .

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

,解得

直線(xiàn)PD的斜率為

從而直線(xiàn)PD的方程為:

, 從而直線(xiàn)PD恒過(guò)定點(diǎn).   16′

考點(diǎn):(1)橢圓的定義;(2)橢圓的切線(xiàn)方程;(3)垂直,對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2013•潮州二模)如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),且AD=
1
3
DB,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且BC=
3
AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角C-PB-A的余弦值.

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如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在AM上,點(diǎn)N在CM上,且滿(mǎn)足的軌跡為曲線(xiàn)E.

(I)求曲線(xiàn)E的方程;                                               

(II)過(guò)點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)E于兩點(diǎn)H、Q,求|HQ|.

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如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),寫(xiě)出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程;(不要求證明)

(3)直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)與直線(xiàn)垂直,點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,證明:直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

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如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),且AD=DB,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且BC=AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角C-PB-A的余弦值.

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( 本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)上,點(diǎn)上,且滿(mǎn)足的軌跡為曲線(xiàn)。

求曲線(xiàn)的方程;

若過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)之間),且滿(mǎn)足,求的取值范圍。

 

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