Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，且點(diǎn)P（-2，0）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A、B為橢圓C上的動點(diǎn)，當(dāng)PA⊥PB時，求證：直線AB恒過一個定點(diǎn)．并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的方程為：，由題意得，a=2，再由b²=a²-c²可求得c，b；
（2）分情況討論：①當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉y得x的一元二次方程，由韋達(dá)定理即及=0可得m，k的關(guān)系式，分別代入直線方程可求得定點(diǎn)坐標(biāo)，②當(dāng)直線l垂直于x軸時，直線AB：，檢驗(yàn)即可；
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：，
由題意得，a=2，所以c=，
又b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為：；
（2）①當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，，，
=，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得，
當(dāng)時，恒過定點(diǎn)；
當(dāng)m=2k時，AB：y=kx+2k恒過定點(diǎn)（-2，0），不符合題意舍去；
②當(dāng)直線l垂直于x軸時，直線AB：，則AB與橢圓C相交于，，
∴，∵PA⊥PB，滿足題意，
綜上可知，直線AB恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．